向量记法:

行向量:

​ [1 , 2 , 3]

列向量:

通常使用下标记法来引用向量的某个分量:


零向量

用黑粗体的零表示任意维零向量,如:

零向量非常特殊,它是惟一大小为零的向量。对于其他任意数 m. 存在无数多个大小(模)为 m 向量。它们构成了 一个圆。零向量也是惟一一个没有方向的向量.


负向量

运算法则

要得到任意维向量的负向量,只需要简单地将向量地每个分量变负即可,数学表达式为:

几何解释

向量变负,将得到一个和原向量大小相等,方向相反的向量。


向量大小(长度或模)

运算法则

在线性代数中,向量的大小用向量两边加双竖线表示,这和标量的"绝对值"在标量两边加单竖线表示类似,这种记法和 n 维向量大小的计算公式如下:

几何解释

对 2D 中的任意向量 v 能构造一个以 v 为斜边的直角三角形,注意直角边的长度分别为分量 vz,vy 的绝对值. 向量的分量可以为负,因为它们是有符号位移, 但长度总是为正的.
由勾股直理可知,对于任意直角三角形,斜边长度的平方等于两直角边长度的平方和:


标量与向量的乘法

运算法则

标量与向量的乘法非常直接,将向量的每个分量都与标量相乘即可. 标量与向量乘的顺序并不重要,但经常把标量写在左边,数学表述为:

应用到 3D 向量,如:

向量也能除以非零标量,效果等同于乘以标量的倒数:

  • 标量与向量相乘时,不需要写乘号. 将两个量挨着写即表示相乘(常将标标最写在左边)。
  • 标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和减法.例如, 3a+b(3a)+b ,而不是 3(a+b) .
  • 标量不能除以向量,并且向量不能除以另一个向量.
  • 负向量能被认为是乘法的特殊情况,乘以标量 -1.
几何意义

几何意义上,向量乘以标量 k 的效果是以因子 k 缩放向量的长度,例如,为了使向量的长度加倍,应使向量量乘以 2。如果 k<0 ,则向量的方向被倒转。


标准化向量

单位向量就是大小为 1 的向量,单位向量经常也被称作标准化向量或更简单地称为"法线"。

运算法则

要标准化向量,将向量除以它的大小(模)即可.

零向量不能被标准化,数学上这是不允许的,同为将寻致除零. 几何上也没有意义,因为零向量没有方向。

几何解释

2D 环境中,如果以原点为尾画一个单位向量,那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆(单位圆的
半径为 1), 3D 环境中,单位向量将触到单位球.


向量的加法和减法

运算法则

两个向量相加,将对应分量相加即可:

减法解释为加负向量,a-b=a+(-b)

几何解释

向量 a 和 b 相加的几何解释为: 平移向量, 使向量 a 的头连接向量 b 的尾,接着从 a 的尾向 b 的头画一个向量。这就是向量加法的"三角形法则". 向量的减法与之类似.


距离公式

首先,定义距离为两点间线段的长度,因为向量是有向线段,所以从几何意义上说,两点之间的距离等于从一个点到另一个点的向量的长度. 现在,让我们导出 3D 中的距离公式.先计算从 a 到 b 的向量 d ,

a 到 b 的距离等于向量 d 的长度。

将 d 代入,得到:

这样就导出了 3D 中的距离公式。2D中的公式更简单:


向量点乘

运算法则

向量点乘就是对应分量乘积的和,其结果是个标量:

几何解释

一般来说 点乘结果描述了两个向量的"相似"程度,点乘结果越大,两向量越相近.几何解释更加直观:

点乘等于向量大小与向量夹角的 cos 值的积:

解得:

如果不需要 θ 的确切值而只需要 a 和 b 夹角的类型,可以只取用点乘结果的符号,

向量大小并不影响点乘结果的符号,所以上表是和 a, b大小无关的。注意,如果 a , b 中任意一个为零,那么 a·b 的结果也等于零。因此,点乘对零向量的解释是,零向量和任意其他向量都垂直。

向量投影

给定两个向量 v 和 n ,能将 v 分解成两个分量: v 和 v ,它们分别平行于和垂直于 n , 并满足 v = v + v ,一般称平行分量 v 为 v 在 n 上的投影.

下面我们先求 v ,观察到 v 平行于 n ,它可以表示为:

三角分解:

将 llvll 代入原等式:


向量叉乘

另一种向量乘法称作叉乘或叉积,仅可向用于 3D 向量. 和点乘不一样,点乘得到个标量并满足变换律,向量叉乘得到一个向量并且不满足交换律。

运算法则

和点乘一样,术语"叉乘"来自记法 a X b 中的叉号。这里要把叉乘号写出来,不能像标量乘法那样省略它
叉乘公式为:

叉乘的运算优先级和点乘一样,乘法在加减法之前计算。当点乘和叉乘在一起时,叉乘优先计算,a·bxc=a·(bxc).因为点乘返回一个标量,同时标量和向量间不能叉乘,所以(a·b)xc没在定义。运算a·(bxc)称作三重积.

几何解释

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量:

axb 的长度等于向量的大小与向量夹角 sin 值的积,如下:

ll axb ll 也等于以 ab 为两边的平行四边形的面积。

通过平行四边形面积公式和三角分解:

如果 a , b 平行或任意一个为 0. 则aXb=0. 叉乘对零向量的解释为: 它平行于任意其他向量.注意这和点乘的解释不同,点乘的解释是和任意其他向量垂直. (当然,定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的,因为零向量没有方向。)

已经证明了 axb 垂直与 a , b . 但是垂直 a , b 有两个方向. axb 指向哪个方向呢?通过将 a 的头与 b 的尾衔接,并检查从 ab 是顺时针还是逆时针,能够确定 axb 的方向,在左手坐标系中,如果 ab 呈顺时针,那么 axb 指向您 .如果 ab 呈逆时针,axb 远离您。在右手坐标系中,恰好相反.

叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面,三角形,或多边形的向量。


线性代数公式


只要你成为一个废物,就没人能利用你